ФОРМУВАННЯ КОРЕКЦІЙ ДО ШКАЛИ ЧАСУ РПКНП

Цей додаток надається з історичною та освітньою метою. Описана тут техніка блочної інверсії матриці (формула Фробеніуса / доповнення Шура) є класичною лінійною алгеброю, широко документованою у відкритій математичній літературі. Сторінка не є експлуатаційним посібником з приймача, сервісом корекції в реальному часі чи специфікацією поточної реалізації навігаційної інфраструктури.

Ключові параметри

1. Формування частотно-часових корекцій виконується з урахуванням відомих координат і компонентів вектора швидкості СКК.

Корекції, що враховують розбіжність між шкалами часу PNS і GPS \(\left| \begin{matrix} \Delta \tau_1 & \dots & \Delta \tau_L \end{matrix} \right|^T\), а також оцінки розбіжності шкали часу «GLONASS-GPS» (\(\Delta \tau_{\text{GLONASS}}\)), визначаються шляхом розв’язання такої системи рівнянь:

\[ S^{[10]} = R + A \cdot \left| \begin{matrix} \Delta \tau_1 \\ \vdots \\ \Delta \tau_L \end{matrix} \right| + K_{\text{GLONASS}} \cdot \Delta \tau_{\text{GLONASS}}. \]

де

\[ S^{[10]} = \left| \begin{matrix} \dots \\ S_{1,j,k,3} \cdot \alpha_{1,j,k} \\ \dots \\ S_{2,j,k,3} \cdot \alpha_{2,j,k} \\ \dots \\ S_{L,j,k,3} \cdot \alpha_{L,j,k} \\ \dots \end{matrix} \right|; \quad R = \left| \begin{matrix} \dots \\ R_{1,j,k} \cdot \alpha_{1,j,k} \\ \dots \\ R_{2,j,k} \cdot \alpha_{2,j,k} \\ \dots \\ R_{L,j,k} \cdot \alpha_{L,j,k} \\ \dots \end{matrix} \right|; \quad A = \left| \begin{matrix} \alpha_{1,j,k} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \alpha_{2,j,k} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \alpha_{L,j,k} \end{matrix} \right|; \]

\[ \alpha_{i,j,k} = \left( 1 - \zeta S_{i,j,k} \right); \]

\[ R_{i,j,k} = \sqrt{(x_{j,i,k} - X_i)^2 + (y_{j,i,k} - Y_i)^2 + (z_{j,i,k} - Z_i)^2}; \]

\[ \mathbf{K}_{\text{GLONASS}} = \left| \begin{array}{c} \dots \\ k_{\text{GLONASS}} \cdot \alpha_{1,j,k} \\ \dots \\ k_{\text{GLONASS}} \cdot \alpha_{2,j,k} \\ \dots \\ k_{\text{GLONASS}} \cdot \alpha_{L,j,k} \\ \dots \end{array} \right|; \]

\( k_{\text{GLONASS}} \) — коефіцієнт, що дорівнює одиниці для GLONASS і нулю для GPS, визначається типом НКА \((k)\).

Система рівнянь розв’язується у вигляді:

\[ \begin{vmatrix} \Delta \tau_1 \\ \Delta \tau_2 \\ \vdots \\ \Delta \tau_L \\ \Delta \tau_{\text{GLONASS}} \end{vmatrix} = \frac{1}{c} \cdot V^{-1} \cdot \left( \begin{vmatrix} A \quad \mathbf{K}_{\text{GLONASS}} \end{vmatrix}^T \cdot \mathbf{W} \cdot \left( \mathbf{S}^{[10]} - \mathbf{R} \right) \right). \]

Це рівняння визначає зсуви годинників \( \Delta \tau_i \) та різницю часу GLONASS-GPS. Воно використовує метод найменших квадратів, де \( V^{-1} \) враховує невизначеність вимірювань через ваги \( \mathbf{W} \). Швидкість світла \( c = 299\,792\,458 \, \text{м/с} \) переводить час у відстань.

де

\[ c = 299792458 \text{ м/с} \text{ — швидкість світла}; \]

\[ V = \left| A \quad \mathbf{K}_{\text{GLONASS}} \right|^T \cdot \mathbf{W} \cdot \left| A \quad \mathbf{K}_{\text{GLONASS}} \right| + 10^{-10} \cdot I_4 = \]

\[ = \left| \begin{array}{ccccc} 10^{-10} + \sum\limits_{j,k} \frac{\alpha_{1,j,k}^2}{\sigma_k^2} & 0 & \cdots & 0 & \sum\limits_{j,k} \frac{k_{\text{GLONASS}} \cdot \alpha_{1,j,k}^2}{\sigma_k^2} \\ 0 & 10^{-10} + \sum\limits_{j,k} \frac{\alpha_{2,j,k}^2}{\sigma_k^2} & \cdots & 0 & \sum\limits_{j,k} \frac{k_{\text{GLONASS}} \cdot \alpha_{2,j,k}^2}{\sigma_k^2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 10^{-10} + \sum\limits_{j,k} \frac{\alpha_{L,j,k}^2}{\sigma_k^2} & \sum\limits_{j,k} \frac{k_{\text{GLONASS}} \cdot \alpha_{L,j,k}^2}{\sigma_k^2} \\ \sum\limits_{j,k} \frac{k_{\text{GLONASS}} \cdot \alpha_{1,j,k}^2}{\sigma_k^2} & \sum\limits_{j,k} \frac{k_{\text{GLONASS}} \cdot \alpha_{2,j,k}^2}{\sigma_k^2} & \cdots & \sum\limits_{j,k} \frac{k_{\text{GLONASS}} \cdot \alpha_{L,j,k}^2}{\sigma_k^2} & 10^{-10} + \sum\limits_{i=1}^{L} \sum\limits_{j,k} \frac{k_{\text{GLONASS}} \cdot \alpha_{i,j,k}^2}{\sigma_k^2} \end{array} \right| ; \]

\( W \) — діагональна матриця вагових коефіцієнтів, елементи якої \( \left( \frac{1}{\sigma_k^2} \right) \), залежно від того, якому НКА
(\( k = 0 \) або \( k = 1 \)) вони відповідають, дорівнюють \( \sigma_{GPS}^{-2} \) або \( \sigma_{\text{GLONASS}}^{-2} \).

\( I_4 \) — одинична матриця розмірності \( 4 \times 4 \).

Інверсія матриці \( V \) виконується за формулою Фробеніуса (часто званою формулою інверсії блочної матриці з використанням доповнення Шура; див. MathWorld або Wikipedia).

\[ V^{-1} = \left| \begin{array}{cc} V_{0,0}^{-1} + V_{0,0}^{-1} \cdot V_{0,1} \cdot H^{-1} \cdot V_{1,0} \cdot V_{0,0}^{-1} & -V_{0,0}^{-1} \cdot V_{0,1} \cdot H^{-1} \\ H^{-1} \cdot V_{1,0} \cdot V_{0,0}^{-1} & H^{-1} \end{array} \right|, \]

Інверсія матриці \( V \) використовує формулу Фробеніуса для чисельної стабільності. При \( L=2 \) станціях \( V_{0,0} \) має розмірність 2×2, \( \mathbf{H} \) є скаляром — це дозволяє уникнути прямої інверсії повної матриці, яка може бути погано обумовленою через слабку геометрію супутників. Регуляризація \( 10^{-10} \) запобігає виродженості.

\[ \text{де} \quad \textbf{H} = \textbf{V}_{1,1} - \textbf{V}_{1,0} \cdot \textbf{V}_{0,0}^{-1} \cdot \textbf{V}_{0,1}; \]

\[ \textbf{V}_{0,0}, \textbf{V}_{0,1}, \textbf{V}_{1,0}, \textbf{V}_{1,1} \text{ — блоки матриці } \textbf{V}: \]

\[ \mathbf{V} \;=\; \left|\, \begin{array}{c|cc} & L & 1 \\ \hline L & \mathbf{V}_{0,0} & \mathbf{V}_{0,1} \\ 1 & \mathbf{V}_{1,0} & \mathbf{V}_{1,1} \end{array} \right|. \]

Якщо будь-який діагональний елемент матриці \( \mathbf{V}^{-1} \) перевищує \( 10^8 \), то відповідний параметр \( (\tau_i, \dot{\tau}_i \text{ або } \tau_{\text{GLONASS}}, \dot{\tau}_{\text{GLONASS}}) \) не може бути визначений, і його раніше сформоване значення залишається незмінним.

Значення розбіжності між частотами генераторів PNS і GPS \( (|\Delta \dot{\tau}_1 \dots \Delta \dot{\tau}_L|^T) \), а також оцінка розбіжності частоти генератора «GLONASS-GPS» \( (\Delta \dot{\tau}_{\text{GLONASS}}) \), визначаються за формулою:

\[ \begin{vmatrix} \Delta \dot{\tau}_1 \\ \Delta \dot{\tau}_2 \\ \vdots \\ \Delta \dot{\tau}_L \\ \Delta \dot{\tau}_{\text{GLONASS}} \end{vmatrix} = \frac{1}{c} \cdot V^{-1} \cdot \left( \begin{vmatrix} A \quad \mathbf{K}_{\text{GLONASS}} \end{vmatrix}^T \cdot \mathbf{W} \cdot \left( \dot{\mathbf{S}}^{[10]} - \dot{\mathbf{R}} \right) \right). \]

де

\[ \dot{S}^{[10]} = \left| \begin{matrix} \dots \\ \dot{S}_{1,j,k,3} \cdot \alpha_{1,j,k} \\ \dots \\ \dot{S}_{2,j,k,3} \cdot \alpha_{2,j,k} \\ \dots \\ \dot{S}_{L,j,k,3} \cdot \alpha_{L,j,k} \\ \dots \end{matrix} \right| \quad \quad \dot{R} = \left| \begin{matrix} \dots \\ \dot{R}_{1,j} \cdot \alpha_{1,j} \\ \dots \\ \dot{R}_{2,j} \cdot \alpha_{2,j} \\ \dots \\ \dot{R}_{m,j} \cdot \alpha_{m,j} \\ \dots \end{matrix} \right|; \]

\[ \dot{R}_{i,j} = \frac{ \dot{x}_{j,i} \cdot (x_{j,i} - X_{i}) + \dot{y}_{j,i} \cdot (y_{j,i} - Y_{i}) + \dot{z}_{j,i} \cdot (z_{j,i} - Z_{i}) }{R_{i,j}}. \]

Освітній результат: описані формули ілюструють, як корекції часу \( \Delta \tau_i \) та оцінки розбіжності частоти \( \Delta \dot{\tau}_i \) можуть бути математично представлені для вимірювань регіонального позиціонування, пов’язаних із GNSS. Цей освітній приклад використовує зважені матричні операції та техніки блочної інверсії для пояснення моделювання похибок синхронізації між регіональними станціями PNS та шкалами часу GPS/GLONASS.